数学尽然不用背口诀表？

具体可视的教学

可视化学习是新西兰数学教学的常用方法。 美国斯坦福大学教育学知名教授乔·博勒（Jo Boaler）对视觉化思维在数学学习中的作用曾做过分析，大脑中的背视觉神经通路是数量运算的核心工作区域，孩子在进行数学运算时，大脑中会展现出一幅视觉图景，用形象的方式来解决抽象的数学问题。

老师为什么不鼓励小朋友使用更有效率的方法？新西兰教育大纲数学部分的编写者文斯·莱特（Vince Wright）对这个问题做出了解答。

“从教育心理学上讲，联系已知内容进行理解是最容易的，所以在数学教学中 联系实际 会让孩子对学习更感兴趣。”莱特说道，但和其他科目相比，数学的独特性是最显著的。在科学课里讲‘下落’的概念时，孩子可以明明白白地在现实生活中看到东西从上而下掉落。但数学不是这样，数学概念全部是人为创造出来的。现实中并不能直接找到‘三角形’，你只能是看到房顶的每个顶点在不同的位置，根据边角的位置关系来推测出它是一个‘三角形’。天气预报说今天有40%的概率会下雨，但你不能从现实中直接感受到40%是什么 。 我认为，从现实引入概念，只是理解数学的第一步。帮助学生在此基础上掌握数学概念才是数学老师面临的最大挑战。  

没有课本，没有期末考

新西兰的数学基础教育，在受到广泛认可的同时，也可以听到许多质疑之声。

以终身学习者为目标

一方面，它代表着新西兰教育大纲中最独特的部分。 新西兰大纲的独特之处在于，只有教学目标和教师配套的指导用书，没有指定课本。按照大纲前言中的叙述，这是充分考虑未来社会对人提出的新要求所进行的设计，它的目标是使学生成为自信、连接、积极参与的终身学习者。每一个学生都是独特的，教学方法当然不一而足，老师不应局限在某一课本之上。新西兰因这一大纲面向未来的前瞻性，在一些国际机构评选的未来教育排名中始终名列前茅。与亚洲在数学教育上强调扎实的基本功和刻苦的练习相比，新西兰在数学上最能体现教育手段的差异性。

新西兰的数学教育没有课本，老师的发挥空间很大

source：三联周刊

乔·帕特里克（Jo Patrick）是奥克兰长湾小学（Long Bay Primary School）副校长，作为一个有近40年教龄的资深教师，她亲身经历了新西兰在数学教育改革上的不断演进。早在上世纪80年代中期，新西兰的学校已经在尝试使用一套名为“小学低年级数学”（Beginning School Mathematics）的新教育模式，虽然那时候还有指定的课本，但所用的教材变得更宽泛了，这套模式也强调低年级学生的数学学习要围绕着 活动 的方式进行”。

新西兰数学教育的改革

1999年，奥克兰教育学院教授彼得·休斯（Peter Hughes）在考察美国和澳大利亚的教育变革后，强烈建议新西兰教育部对本国的数学教育进行改革。

帕特里克回忆说：休斯博士根据国外的研究成果提出了很多建议，比如如何正确理解孩子在认识数字时的阶段性。”她说道，同样算出5+3的结果是8，但孩子们实际的计算能力却并不一定相同。有的孩子无法把两组数连在一起，需要用手指数到从5数到8。有的孩子已经有了集数的概念。显然，会第二种方法比使用第一种的能力要强，那么接下来在学习9+6时，有 集数概念 的孩子更容易明白如何将数字重新组合。我在当时是不懂这二者的区别的，那时对教学有很多困惑，不明白为什么有的孩子总是计算上有困难。”

帕特里克说，正是在这种新思想的推动之下，建构主义教育理论在新西兰流行起来，比如苏联心理学家维果斯基的‘最近发展区’理论，老师们开始讨论如何识别孩子现在处在哪个发展区内，从而要给予他们 与之能力最接近的教学资料，显然只使用一本固定的教材是远远不够用的”。

新西兰一位优秀的初中科技课老师分享了自己的亲身经历。我觉得新西兰的教学大纲是世界上最好的，因为它给了老师极大的自由空间。”这位老师在成为专职的科技课老师之前，当过七年级一个班的班主任，在没有课本的束缚之下，尽情发挥着自己的才智，帮助学生更好地理解数学。 

对过程的重视

而另一方面，新西兰数学教育的有效性受到了许多质疑。

新西兰教学大纲涵盖一年级到十三年级的基础教育全学段教学内容。它将教学阶段共分为八个级别，每个级别对英语、数学、艺术、自然科学、社会科学、体育等科目的教学目标进行逐个描述。

新西兰教学大纲中数学部分从第一级别开始，就分为了数字与代数、几何与测量、统计学三个门类。即便是面向一年级小学生，它也明显地体现出对于 过程 的重视，比如会用到“交流与解释”“翻译描述”“调查情况”等词汇，这也大大弱化了新西兰对于 统一考试 的重视程度。

新西兰小学低年级 没有任何结构化的考试形式，每个学校三年级以上会有选择性地参加一些统一考试，但也不会作为评判的主要标准，因此没有排名，再加上没有课本，家长和社会公众，想了解学校整体的教学进度和质量并不容易。

很多人把经济合作与发展组织每三年组织一次的PISA（Programfor International Student Assessment）国际考试作为评价标准，在这个面向各国15岁学生的标准化考试中，新西兰近几年表现不佳。2018年，新西兰学生的数学考试成绩排在37个国家中的第22位，引起了国内舆论强烈的批评。在那次考试中，数学排在第一位的是中国，但是仅有北京、上海、江苏和浙江四个省市作为代表参加。

作为大纲的编写者和数学教育专家，莱特对PISA考试的结果持有 一分为二 的态度：它说明我们在教学中存在一些问题，比如对于运算等基础知识的掌握，这跟我们设立大纲的初衷是背道而驰的。大纲的灵活性让教师们都非常重视数学的应用能力，会设置很多场景来学习数学，但对于基本概念的要求，我认为是缺失的。这也是为什么今年我们要重新修订大纲，我们希望能将学习的目标更明确化，更有目标性。”

但莱特并不认为PISA的结果意味着新西兰数学教育的失败。 “首先，新西兰提供的是全国普遍性的样本。而且新西兰一向不重视考试，所以不会对此做针对性的准备。很多能力是无法在统一的笔试过程中检验出来的，比如我们认为团队合作解决问题的能力很重要。”

“察觉不到”的数学能力评估

虽然新西兰少有公开的考试，但老师对学生数学能力的评估却 时时刻刻 以 察觉不到的方式 进行着。

在惠灵顿一所名叫埃姆斯伯里（Amesbury School）的创新型学校，教学楼里班级之间不设围墙，在各个角落里，总是有很多孩子或者围着老师，或者自己进行着各种讨论和小组项目。

分数是新西兰小学阶段数学的一大难题。在起步阶段，老师经常使用比萨教具来帮助学生理解抽象的分数，于是有的小组迅速开始在白板上画起了比萨图。2/3个比萨，加上3/4个比萨，两部分都超过了一个比萨的一半，加起来肯定大于1，所以5/7是错的。

但2/3+3/4究竟该怎么算呢？老师没有教学生使用最小公倍数对分母进行通分的方法，想得出结果全凭自己摸索。有的小组开始抓耳挠腮起来，有的小组陷入激烈的互相否定之中。老师在各个小组中间穿行，多数时候只是在一旁默默地听，一堂课就在没有主导的讨论中过去了大半。

更高效的学习模式

针对这样的课堂教学模式，该校副校长德梅拉扎·托普（Demelza Topp）告诉我， 老师正在观察每一个小组是否在进行“富有产出的挣扎”过程。“富有产出的挣扎”指的是有助于解决问题的尝试和犯错的过程。

“孩子们如果是尝试着这样或那样做，发现都不对；或者小组里有个人说，我们应该这么做，但另一个人反驳说，不对，然后讲出理由，这些情况都说明他们没有迷失方向，即便他们还没有找出正确的路线，但至少他们辨别出什么是错的，而且在进行着改变。”托普说，这是一种皮亚杰所说的“非平衡状态”，适度的挑战性会在一开始为学生带来焦虑感，但他们通过正确道路上的探索，很快就会期待通过问题的解决来获得成就感。在这种情况下，老师不会介入，避免对他们的思路进行干扰。

但老师如果看到小组进行的“无产出的挣扎”，它无助于问题的解决，老师应该迅速地加入讨论，“提问、启发，甚至是直接告诉他们，让他们回到正确的轨道上，能转换成‘产出挣扎’模式”。比如老师看到某个小组无从下手，提出了一个较为简单的问题，如何计算1/3+1/2？当在一块比萨上将需要计算的面积都涂上阴影之后，孩子们想到，可以用1减去最后那块没有阴影的部分。

一堂课下来，老师讲授知识点的时间非常有限，但托普却认为这是更高效的学习模式。 “我们特别看重数学的小组讨论和互相学习。”她说道，“如果老师全程参与进去，就会变成专家式的‘你说我听’的过程。听的效率是很低的，因为往往是说话的那个人最聚精会神。而当孩子们自主讨论时，他们的 参与感 会非常强，形成的也是一个平等的会话模式，从别人那学习，相互帮助理解新的问题，并且会在合作中获得新的发现。”

而组织好小组讨论，也是一个成功数学老师的必备技能。课讲得深入、善于启发等等，这都不能代表全部，倾听和观察同样也非常重要。老师观察着每个小组的讨论，记录下来每个孩子究竟理解了什么，在理解哪些概念上有困难，哪个孩子是需要在小组讨论时专门进行单独谈话的，我发现你在这个问题上有困难，不如我们试试先做这个练习，它对你有帮助’。”

“做好记录，追踪每一个孩子的学习进展是老师在教数学时特别重要的一项工作。”托普说，“这意味着老师并不需要总是给孩子做测验，通过每天的倾听和观察来了解孩子会了什么、不会什么。”

全科教师教数学

新西兰数学教育与中国的另一个显著的不同，是一般没有专职的数学老师。小学和初中往往都采用一个班主任教全部科目的形式。

取得教师资质的全科老师，往往学的是综合的教育学学科，而非数学专业背景，但全科老师模式依然被西方很多国家认为是更科学的。

王井健是奥克兰花园小学（The Gardens School）高年级班主任。“新西兰的教育大纲非常适合全科老师的教学。”王井健说，“全科老师有两个最明显的优势。一是熟悉每一个学生的个性和学习特征，比数学单科老师更能安排适合每个学生的学习任务；二是更容易进行整体性教学，数学不一定只在数学课上，学习的方法会有很多。”

王井健说道，在他的班级里，每星期纯粹学习数学的时间可能只有60～90分钟，其余都是综合性的学习”。比如学习分数，艺术课、音乐课、英语课都可以做出相应的安排。除此之外，学校每个学期都会制定一个主题，各个班级会依照这个主题制定小组项目，将学生本学期各科目的收获都有所囊括。 

 明确学习目标

美国数学教育研究教授保罗·科布（Paul Cobb）在研究系统如何促进数学教育质量时曾指出，很多国家的数学教学大纲大约都会以每十年更新一次的频率往前推进，“编写完，发现失败了，于是重新书写，结果又失败了，循环往复。问题其实并不出现在大纲制定上，而是国家的教学研究机构，它们没有花足够的力气把大纲向一线教师做出解释，从而让大纲成为有实践意义的参照”。

科布在对美国小学教师进行实证研究后指出，一个成功的大纲，应该让教师在课堂实践中能够向学生清晰地陈述出学习目标，具备让学生实现这些目标的指导性实践能力，同时拥有足够的资源，用持续性、有针对性的专业技术来指导课堂教学。 同时，教师应该成长在以学校为单位的学习环境中，具有有效的测评手段获知哪些学生存在学习困难，并能够使用针对性的教育资源来帮助这些学生。

澳大利亚数学教师培训专家罗宾·怀特（Robin White）现在是新西兰一家教育机构的负责人。三年前，他受新西兰教育部之邀，来新西兰帮助教师提高数学教学能力，他以保罗·科布的实证研究为参考，以每年12次的工作坊形式为参与培训的数学老师们提供教学指导。我们的培训有三个目标：让老师具备连贯的教学能力、形成集体合作的教研网络，同时帮助学校创建一个数学教研领导团队，每个学校的校长是帮助老师提高教学能力的最核心要素。” 

效率，还是公平？

潘赫斯特小学（Pinehurst School）是奥克兰一所以学术成绩见长的私立学校。它并未采用新西兰课程大纲，而是使用英国的剑桥课程体系，对教学有更为严格的要求。它的小学部校长西安·考克森（Sian Coxon）说，从三年级开始，学校就会在数学课上对全年级进行重新分班，按照能力水平分成三个班，由年级各有经验的班主任分别授课。除了数学课外，其他科目依然在各自的班级由各自的班主任来上”。 

教学方法的取舍

** 关于效率的关注也体现在 教学**方法的取舍 上。惠灵顿创新学校埃姆斯伯里小学副校长托普说道，尽管改良型的教学方法被越来越多地提及和采用，但她依然认为在一些情况下传统方法是必不可少的。“比如基本概念的讲授，我觉得 传统方法依然奏效 。因为时间是有限的，如果在所有问题上都进行开放式的讨论和探索，那最终结果可能是抓不住重点，同时也打不好基础。”

培养全面的数学思维

托普也特别强调“练习”的重要性。“在我们每一个年级里，都会跟家长强调，数学一定要练习、练习、练习。但我们不希望孩子做的是重复性的枯燥的训练，而是带有情境的有趣的题目。比如圣诞节的时候我们会给六年级出一套题，圣诞小精灵的帽子是被谁拿走的，会有一系列的线索提供出来，需要孩子们使用数学中的各种概念解题，每做对一个获得一个线索，综合所有的线索才能排除其他可能性，找到唯一的人。在这个过程中，不但需要 知识的综合运用 ，还需要极强的耐心，有一个环节做错了，就前功尽弃了。我们会尽量提供这样的题目让孩子们感觉到有趣又有用。”

加强对基本功的掌握 也是莱特进行新大纲修订的初衷之一。 “我不希望学生们明明具备了更好的思维能力，但却败在解决基本概念的问题上。事实上，一个人掌握不好 基本概念 ，也很难说能够具有全面的数学思维。”

如何衡量新西兰的数学教学水平？答案众说纷纭。但至少可以从一个侧面窥见新西兰数学教育的成果 。 吴丽玮 在新西兰一个教育论坛搜索信息时，看到一篇文章被推荐阅读，推荐者说，作者使用的统计学方法非常有创见。这是一篇医护工作者写的护理学主题的论文，用数学方法统计患者接受治疗的频次和强度与康复情况的关系。能够把数学知识应用到并不直接相关的自然科学主题之下，或许这就是莱特期待的新西兰学生该具备的数学能力。 

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